PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL

Nama        : Sabda Aqilah 

Kelas         : X Ips 3

Absen        : 29

Pengertian linear variabel

Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) adalah sistem persamaan dengan 3 variabel berpangkat satu. SPLTV merupakan perluasan dari sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).

Bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) ialah:

Dengan  adalah bilangan real.

Keterangan:
 adalah koefisien dari 
 adalah koefisien dari 
 adalah koefisien dari 
 adalah konstanta
 adalah variabel (peubah)

Contoh persamaan tiga variabel

Tentukan nilai x, y dan z dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

Pembahasan:

Kita akan menggunakan metode substitusi dengan mengikuti langkah-langkah yang dijelaskan di atas.

Langkah 1: Ubah persamaan pertama (anda bebas mengubah persamaan manapun) sehingga diperoleh z sebagai fungsi dari x dan y, yakni

Langkah 2: Substitusi persamaan (iv) ke persamaan lain yakni persamaan dua dan tiga, lalu lakukan penyederhanaan. Kita peroleh

Perhatikan bahwa kita telah memperoleh nilai x dan y, yakni $x=-5$ dan $y=-3$. Dengan mensubstitusi nilai x dan y pada persamaan (iv), kita peroleh nilai z yakni

Jadi, nilai x,y dan z yang memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah $x=-5,y=-3,z=2$ atau kita nyatakan dengan $(x,y,z)=(-5,-3,2)$.

Contoh soal :

1. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

2x + 5y – 3z = 3

6x + 8y -5z = 7

-3x + 3y + 4y = 15

Pembahasan

2x + 5y – 3z = 3 … (1)

6x + 8y -5z = 7 … (2)

-3x + 3y + 4z = 15 … (3)

Eliminasikan variabel z menggunakan (1) dan (2):

2x + 5y – 3z = 3 |×5| ⇔ 10x + 25y – 15z = 15 

6x + 8y -5z = 7 |×3| ⇔ 18x + 24y -15z = 21  –

-8x + y = -6 … (4)

Eliminasikan variabel z menggunakan (1) dan (3):

2x + 5y – 3z = 3 |×4| ⇔ 8x + 20y – 12z = 12 

-3x + 3y + 4z = 15 |×3| ⇔-9x + 9y + 12z = 45  +

-x + 29y = 57 … (5)

Eliminasikan variabel y menggunakan (4) dan (5):

-8x + y = -6 |×29| ⇔ -232x + 29y = -174 

-x + 29y = 57 |×1| ⇔ -x + 29y = 57  –

-231x = -231

x = 1

Substitusikan x ke (4):

-8x + y = -6

-8(1) + y = -6

-8 + y = -6

y = 8 – 6

y = 2

Kemudian, subsitusikan x dan y ke (1)

2x + 5y – 3z = 3

2(1) + 5(2) – 3z = 3

2 + 10 – 3z = 3

12 – 3z = 3

– 3z = 3 -12 = -9

z = -9/-3

z = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 2, 3)}

2. Temukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut

x + y + z = -6

x + y – 2z = 3

x – 2y + z = 9

Pembahasan

x + y + z = -6 … (1)

x + y – 2z = 3 … (2)

x – 2y + z = 9 … (3)

Tentukan persamaan x melalui (1)

x + y + z = -6 ⇔ x = -6 – y – z … (4)

Substitusikan (4) ke (2)

x + y – 2z = 3

-6 – y – z + y – 2z = 3

-6 – 3z = 3

3z = -9

z = -3

Substitusikan (4) ke (3)

x – 2y + z = 9

-6 – y – z – 2y + z = 9

-6 – 3y = 9

– 3y = 15

y = 15/(-3)

y = -5

Substitusikan z dan y ke (1)

x + y + z = -6

x – 5 – 3 = -6

x – 8 = -6

x = 8 – 6

x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, -5, -3)}

3. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut.

3x – 6y + 12z = 60

2x -4y + 4z = 46

x – 2y + 4z = 15

Pembahasan

Sistem persamaan linear tiga variabel tersebut bisa disederhakan menjadi

3x – 6y + 12z = 60 |÷ 3| ⇔x – 2y + 4z = 20 … (1)

2x -4y + 4z = 46 |÷ 2| ⇔ x – 3y + 6z = 23 … (2)

x – 2y + 4z = 15 … (3)

Perhatikan bahwa (1) dan (3) mempunyai sisi kiri yang sama (x – 2y + 4z) namun sisi kanan berbeda (20 ≠ 15). Jadi SPLTV tersebut tidak mungkin terselesaikan.

Jadi, sistem persamaan linear tiga variabel tersebut tidak memiliki himpunan penyelesaian.